두집단에 대한 가설검정(case 1)

통계 이야기

두 집단 모평균 차에 대한 가설 검정의 케이스는 다음과 같은 요소들로 경우를 나눌 수 있다.
1) 두 표본 집단의 모분산을 알고 있을 때/모를 때
2) 표본의 크기가 충분히 클 때/ 작을 때
3)두 표본 집단의 모분산이 등분산성일 때/ 이분산성일때

각 케이스별로 귀무가설/대립가설을 알아보고 해당 귀무가설을 가정해서 통계적 가설 검정을 할 때 필요한 분포와 검정통계량을 구해볼 것 이다.
이후 예시 사례로 직접 통계적 가설검정을 해보도록 할것이다. 사례들은 최종후 교수님의 통계과학의 이해를 참고했다.

이번에는 두 표본 집단에 대해

1) 표본집단의 모분산을 알고 있고
2) 표본의 크기가 충분히 커 중심극한 정리를 따르고
3) 표본집단의 모분산이 등분산성을 따를 때

가정하여 여러 사례의 가설을 통계적으로검정을 하고자 한다.두 표본 집단에 대해 모집단의 평균이 ų1,ų2이고 분산이 σ1²,σ2²인 정규분포를 따를 때

귀무가설/대립가설 설정
귀무가설 H0는 기본적으로 ‘두 모집단의 평균이 차이가 없다’이다.

H0 : ų1 — ų2 = 0
H1 : ų1≠ų2 (ų1 — ų2 > 0 OR ų1 — ų2 <0)

통계적 가설 검정은 귀무가설의 가정하에 진행하기에 ų1 — ų2의 분포를 확인해보자. 두 표본집단의 해당 모집단의 평균이 ų1,ų2이고 분산이 σ1²,σ2²인 정규분포를 따를 때, ų1 — ų2의 표본 분포는 n이 충분히 크면 정규분포 N(ų1 — ų2 , σ1²/n1+σ2²/n2)를 따른다.

>>E(X1_bar — X2_bar) = E(X1_bar) — E(X2_bar) = ų1 — ų2
>>Var(X1_bar — X2_bar) = Var(X1_bar) + Var(X2_bar) = σ1²/n1+σ2²/n2

검정통계량 구하기
X1_bar — X2_bar를 표준화하면 확률변수 Z 는 표준 정규분포 N(0,1)을 따르게 된다.

>>Z = ( (X1_bar — X2_bar) — (ų1 — ų2) ) / √(σ1²/n1 + σ2²/n2)

사례1

어느 음료 회사에서 1.5L의 캔 속에 음료수를 주입하는데 A, B 두 대의 자동주입시스템을 이용하고 있다. 캔 속에 주입 되는 제품의 용량은 정규분포를 따르며, 각각 σA² = 0.14, σB² = 0.19임을 알고 있다. 자동주입시스템에서 주입 되는 제품의 용량에 차이가 있는지 알아보기 위해 A, B에서 각각 20, 25개의 표본을 추출하여 다음과 같은 자료를 얻었다. 두 용량의 평균치에 대한 차이가 있는지 유의수준 5%에서 검정하여 보자.

귀무가설/대립가설 설정
귀무가설 H0는 기본적으로 ‘두 모집단의 평균이 차이가 없다’이다.

H0 : ų1 — ų2 = 0
H1 : ų1≠ų2 (ų1 — ų2 > 0 OR ų1 — ų2 <0)

통계적 가설 검정은 귀무가설의 가정하에 진행하기에 ų1 — ų2의 분포를 확인한다. 두 표본 집단의 해당 모집단의 평균이 ų1,ų2이고 분산이 σ1²,σ2²인 정규분포를 따를 때, ų1 — ų2의 표본 분포는 n이 충분히 크면 정규분포 N(ų1 — ų2 , σ1²/n1+σ2²/n2)를 따른다.

>>E(X1_bar — X2_bar) = E(X1_bar) — E(X2_bar) = ų1 — ų2
>>Var(X1_bar — X2_bar) = Var(X1_bar) + Var(X2_bar) = σ1²/n1+σ2²/n2 = 0.14/20 + 0.19/25 = 0.0146

검정통계량 구하기
X1_bar — X2_bar를 표준화하면 확률변수 Z 는 표준 정규분포 N(0,1)을 따르게 된다. 검정통계량을 계산하면 1.324이고 해당 p-value를 구하면 0.9072이다.

>>Z = ( (1.61–1.45) — (0) ) / √0.0146 = 1.324

결론

해당 가설검정은 양검정이므로 실질적인 유의수준은 5%가 아닌 2%, 0.025이고 p-value는 0.9072로 유의수준보다 크므로 H0을 기각할 수 없다. 즉, A,B 용량의 평균치는 차이가 있다고 할 수 없다.